各种重要的分布函数

Gamma 分布

定义：Gamma 分布（Gamma Distribution）是统计学的一种连续概率函数。Gamma分布含有两个参数，其中参数 $\alpha$ 称为形状参数（shape parameter），参数 $\beta$ 称为尺度参数（scale parameter）。需要指出的是，千万不要将Gamma分布与Gamma函数混淆。

(1) Gamma 函数的数学表达式如下：

$\Gamma(\alpha)=\int_0^{+\infty}t^{\alpha-1} e^{-\alpha} \,dt$

(2) Gamma 分布的数学表达式如下：

$X\sim\Gamma(\alpha,\beta)$

f_X(x| \alpha,\beta)=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}, \qquad x&gt;0 \quad \alpha,\beta&gt;0

E(X)=\frac{\alpha}{\beta}

D(x)=\frac{\alpha}{\beta^2}

Gamma分布和很多著名分布存在紧密联系：厄兰分布（Erlang distribution）、卡方分布（Chi-squared distribution）、指数分布（Exponential distribution）、贝塔分布（Beta distribution）都是 Gamma 分布的一个特例。

当 $\alpha$ 为整数的时候，Gamma 分布就变成一个厄兰分布。

当 $\alpha=n/2,\beta=1/2$ 时，Gamma 分布变成一个卡方分布。

当 $\alpha=1, \beta=\lambda$ 时，Gamma 分布变成一个参数为 $\lambda$ 的指数分布：
$f_X(x|\alpha=1,\beta=\lambda)=\lambda e^{-\lambda x}$

Gamma 分布的性质

Gamma 分布的可加性
假设随机变量 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 相互独立，且都服从 Gamma 分布， $X_i \sim \Gamma(\alpha_i,\beta)$ . 令 $Y=X_1+X_2+\cdots+X_n$ ，则 $Y\sim \Gamma(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n,\beta)$ Gamma 分布。